Retour à la page précédente

Commun

M. GUITARD

 M.ROTY M. THIERIOT

Histoire de la numération

La page a été mise à jour le 

Prérequis

Savoir compter, additionner, soustraire, multiplier, diviser... et utiliser les puissances !

Introduction

Un des objectifs de l'option MPI est de pouvoir communiquer avec un ordinateur en utilisant son propre langage : le langage binaire encore appelé langage numérique. Pour bien comprendre ce langage, il est utile de prendre du recul par rapport à notre manière de compter et de découvrir que les civilisations qui nous ont précédés ont développé des manière de compter parfois fort différentes de la nôtre !

Quoiqu'il en soit, il est nécessaire de définir quelques notions communes à toutes les numérations. Cela nous permettra ainsi de les différencier...

Chiffres et nombres


Dans toute numération, il faut distinguer chiffres et nombres.

  • Un nombre est le résultat du comptage d'un ensemble d'objets, d'animaux, de personnes ...

  • Pour écrire un nombre, on peut utiliser un ou plusieurs chiffres.

Une année comporte douze mois : douze (12) est un nombre comportant deux chiffres (1 et 2).
Les jours de la semaine sont au nombre de 7 : Ce nombre s'écrit avec un seul chiffre (7).
 

 Numération d'addition et de position
 
- Dans la  numération d'addition, lorsqu'un nombre est représenté par plusieurs chiffres, la valeur du nombre est égale à la somme des chiffres quelque soit leur position
Si nous utilisions la numération additive, 77 vaudrait 14  !
Et 58 aurait la même valeur que 85 soit 13 !

- Dans la numération de position, la position des chiffres les uns par rapport aux autres à une grande importance, un même chiffre n'a pas la même valeur suivant sa position. 
Quand nous écrivons 33, nous savons que l'un des trois vaut 3 et l'autre vaut 30 !

Point de départ

La numération de position décimale: notre manière actuelle de compter.
On a pris l'habitude de compter en "paquets". La numération moderne regroupe les éléments à dénombrer en "paquets" de dix. On dit qu'on utilise la "base dix".
ex: 2 582 = 2 x 103 + 5 x 102 + 8 x 101 + 2 x 100       (il faut se rappeler que 100 =1)

le premier chiffre 2 vaut 2000 alors que le dernier ne vaut que 2.

 

1) Quels sont les chiffres du système de numération décimale utilisé aujourd'hui?

2) Combien de nombres peut-on écrire avec ces chiffres?

3) Notre système de numération est il de position ou d'addition? Justifie.

4) Décomposer le nombre 37 804 en une addition à l'aide des puissances de dix (comme dans l'exemple ci-dessus)..

Fais vérifier tes réponses

Pour mieux comprendre cette façon de compter, et pour bien se rendre compte que ce n'est pas la seule manière valable de compter, revenons quelques milliers d'années en arrière ...

Quelques repères historiques pour découvrir d'autres numérations

Rédacteur JMR + CG

Retour au sommaire général

D'après une idée consultable sur le site académique : http://www.ac-rennes.fr/pedagogie/scphys/accueil.htm
 

-

Retour en haut de la page

Quelques repères historiques

Asie   Moyen-Orient / Egypte       Europe   Amérique

 
  - 30 000   Entailles numériques sur des os ou de la corne.  

 

Mésopotamie

Usage des calculi (jetons d'argile).

calculi.gif (1670 octets)

   - 8 000  
 

 

Mésopotamie

 Création des chiffres cunéiformes pour compter les animaux, les hommes et pour chiffrer les récoltes.
cuneif.gif (1339 octets)

   - 3 300  
 

 

Égypte

Usage de la numération additive à base dix.

num_egyp1.gif (1473 octets)

   - 2 000 (env.)  
 

 

Babylone

Première numération de position (base 60).

cun_1_10.gif (1055 octets)

   - 1 800  
 
Invention des chiffres en Chine.  
  - 1 300  
 

 
  - 400  

Numération grecque

 Système hybride, ni purement additif, ni vraiment de position.

  

 


Première invention du zéro:
cun_1_10_0.gif (1242 octets)

   - 300 (env.)  

Numération romaine

num_rom1.gif (1555 octets)

  
Numération de position à base dix en Inde : Invention du zéro.

Créations de dix chiffres correspondants chacun à un symbole différent.

  
  4ème siècle  
 

 
  5ème siècle  
 

Numération maya de position

Numération à base 20 utilisant le zéro.

 
  10ème siècle  

Chiffres arrivant en Espagne : Partis de l'Inde, ils ont étés modifiés au Moyen-Orient et au Maghreb.

  

 
  12ème siècle   Arrivée du zéro en Europe.

Numération de position à base dix

  
        ...        
Numération décimale : Manière actuelle de compter ...

Numération binaire (base de 2) : Langage utilisé par les ...

Numération hexadécimale (base de 16) très utilisée en ...

   de nos jours   ... C'est une numération de position.

... ordinateurs. (numération de position)

... informatique. (numération de position)

 

Retour en haut de la page

 

-

Retour en haut de la page

La numération égyptienne : 
une numération d'addition

 

La numération égyptienne utilisait les hiéroglyphes ci-contre. Leurs symboles évoquent chacun un ordre de grandeur.
  • un bâton évoque l'unité,
  • une anse de panier: il contient environ 10 objets,
  • une rouleau de papyrus: on peut y écrire environ 100 hiéroglyphes,
  • une fleur de lotus: on les trouve par milliers,
  • un doigt montrant le ciel nocturne: on y voit près de 10 000 étoiles,
  • un têtard: on en trouve de l'ordre de 100 000 au bord du Nil après la ponte,
  • un dieu agenouillé supportant le ciel: le dieu est éternel et 1 million d'années est synonyme d'éternité).

On additionne les valeurs de tous les signes utilisés pour écrire le nombre.
2964.gif (2487 octets)
On peut vérifier que ce nombre est 2964.

Les chiffres


num_egyp.gif (2100 octets)

 

1) Recopie les chiffres du système de numération égyptien.

2) Traduit les nombres 2006 et 30240.

3) Ce système de numération est il de position ou d'addition? Prouve le en écrivant un nombre de plusieurs manières.

4) Traduit le nombre 99. Pourquoi la numération de position est-elle un progrès par rapport à la numération d'addition?

 

Fais vérifier tes réponses

 

 

Retour en haut de la page

 

-

Retour en haut de la page

La numération romaine :
transition entre la numération d'addition et de position

 

Jusqu'au Moyen-Age, la numération romaine permettait d'écrire les neufs premiers chiffres ainsi:
rom_1-9.gif (1612 octets)
Il s'agissait encore d'une numération d'addition et on remarque l'écriture du chiffre quatre et celle du chiffre neuf. 

 

Ce n'est qu'au MOYEN-AGE qu'on a écrit les chiffres romains en utilisant des différences telles que IV(quatre), IX (neuf), XC (quatre-vingt dix)...
La position des chiffres a donc pris à ce moment une réelle importance.

 

 

 Signes employés:
num_rom.gif (2428 octets)

 

1) Recopier les signes employés par le système de numération romaine.

2) Écrire les nombres 99, 1948 et 2001 en numération romaine d'avant puis d'après le moyen-age. 
Quelle est la numération la plus avantageuse? Pourquoi?


3) Traduire les nombres ci-dessous en numération actuelle.
        ex_rom2.gif (1404 octets)
       ex_rom1.gif (1448 octets)

Retour en haut de la page

 

-

Retour en haut de la page

La numération maya :
Une numération de position en base 20

 

La base vingt
Les Mayas ont adapté leur système de numération à leur calendrier. Leur numération est à base vingt, comme leurs mois qui comptaient vingt jours. Ci-dessous les chiffres de 1 à 19 ainsi que le chiffre zéro:

num_maya.gif (2531 octets)

Et après ?
Le nombre 20 s'écrit alors avec deux symboles alignés verticalement (voir ci-contre). 		20_maya.gif (1202 octets)

Les Mayas écrivaient leurs nombres de bas en haut.

 

1) Recopie les signes  utilisés pour écrire les chiffres de 0 à 19?

2) Que représentent les trois nombres ci-dessous écrits en base vingt?

Rappel : En base dix,  462 = 4 x 102 + 6 x 101 + 2 x 100

400

8000

combien?

3) Traduit les nombres 55, 100, 531.

4) Traduit le nombres 20. 
Essaie maintenant de l'écrire sans le chiffre 0. 
Pourquoi le zéro a-t-il été inventé avec l'apparition de la numération de position?

Fais vérifier tes réponses

stele_m.gif (4910 octets)

 

 

 

Retour en haut de la page

 

-

Retour en haut de la page

La numération babylonienne :
une numération de position en base 60

 

Il y a 4000 ans, en Mésopotamie est apparu le premier système de numération. On a retrouvé des jetons en terre cuite dont les valeurs (1, 10, 60, 600, 3600 et 36000)  permettaient de réaliser tous les nombres entiers.
La numération écrite est ensuite apparue avec l'écriture, vers 3300 av JC. Elle permettait de gérer les troupeaux, les récoltes, les hommes, les superficies des terres.

 

Cette numération additive, sumérienne à l'origine, utilisait des petits clous, des grands clous, des chevrons. La confusion possible entre grands clous et petits clous la fit évoluer vers une numération de position.

 

Lorsque la numération de position fut inventée, la nécessité du zéro se fit sentir. Il fallut tout de même un millénaire et demi pour parvenir à la numération de position à base soixante avec zéro. Cette numération ne comporte que trois signes: le un, le dix et le zéro.

 

Les nombres, en Mésopotamie, étaient écrits sur des plaques d'argile fraîche. Les scribes utilisaient une tige de roseau taillée appelée calame. Par séchage au soleil, on obtient ainsi des tablettes dont la conservation est excellente. On en a retrouvé de grandes quantités.
calame.gif (1323 octets)calame

 calculi.gif (1670 octets)
Les formes utilisées étaient le petit cône, la sphère, le grand cône, le cône perforé et la sphère perforée.

 

cuneif.gif (1339 octets)

           cun_1_10_0.gif (1242 octets)

cun_nbr1.gif (1800 octets)
Le nombre à trois chiffres ci-dessus (base 60) se traduit en numération décimale par:
5 x 602 + 3 x 601 + 31 x 600 = 18 211

 

 

 

cun_nbr2.gif (2067 octets)

1) recopie les 3 signes utilisés par le système babylonien de position.

2)Traduire en numération décimale le  nombre ci-dessus.

3) Écrire en numération babylonienne le nombre 155.

4)  dans tous les systèmes décrits jusqu'ici on remarque l'omniprésence du nombre 10 ou de ses multiples. Comment expliques tu cela?

5)Écrire le nombre 7200 en numération babylonienne. Quel inconvénient présentait l'écriture de ce nombre avant que le zéro ne soit inventé?

L'héritage des babyloniens.
L'astronome grec Hipparque introduisit en Grèce (2ème siècle av JC), la division du cercle en 360 degrés, chaque degré étant divisé en 60 minutes et chaque minute en 60 secondes. Nous avons conservé ce vestige de la base soixante des Babyloniens, par l'intermédiaire d'Hipparque.

 

Retour en haut de la page

 

-